Question

5．在2014年教師節(jié)來(lái)臨之際，某學(xué)校計(jì)劃為教師頒發(fā)一定的獎(jiǎng)勵(lì)，該學(xué)校計(jì)劃采用說(shuō)課評(píng)價(jià)與講課評(píng)價(jià)相結(jié)合的方式來(lái)決定教師獲得獎(jiǎng)勵(lì)的等級(jí)．已知說(shuō)課評(píng)價(jià)和講課評(píng)價(jià)的成績(jī)都分為1分，2分，3分，4分，5分，共5個(gè)等級(jí)．所有教師說(shuō)課評(píng)價(jià)與講課評(píng)價(jià)成績(jī)的頻率分布情況如圖所示（參加評(píng)價(jià)的每個(gè)教師兩種評(píng)價(jià)都參加了），其中講課評(píng)價(jià)成績(jī)?yōu)?分的有12人．

（1）求該學(xué)校參加評(píng)價(jià)活動(dòng)的教師總?cè)藬?shù)；
（2）若在說(shuō)課評(píng)價(jià)為2分的教師中，講課評(píng)價(jià)也為2分的有4人，其余講課評(píng)價(jià)均為3分．若從說(shuō)課評(píng)價(jià)為2分的教師中選取2人進(jìn)行座談，求這2人說(shuō)課評(píng)價(jià)與講課評(píng)價(jià)總分的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求得講課評(píng)價(jià)中成績(jī)?yōu)?分的概率，再結(jié)合講課評(píng)價(jià)成績(jī)?yōu)?分的有12人求得該學(xué)校參加評(píng)價(jià)活動(dòng)的教師總數(shù)；
（2）結(jié)合頻率分布直方圖求出說(shuō)課評(píng)價(jià)為2分的教師的頻率，進(jìn)一步求得說(shuō)課評(píng)價(jià)為2分的教師數(shù)，得到16人中總分為4分的有4人，總分為5分的有12人，則從這16人中任選2人，得分總和X可求，再利用古典概型概率計(jì)算公式求得概率，列出頻率分布表，代入期望公式求期望．

解答 解：（1）講課評(píng)價(jià)中成績(jī)?yōu)?分的概率為1-0.025-0.150-0.375-0.375=0.075，
故該學(xué)校參加評(píng)價(jià)活動(dòng)的教師總數(shù)為$\frac{12}{0.075}=160$；
（2）由條件可知，說(shuō)課評(píng)價(jià)為2分的教師的頻率為1-0.200-0.375-0.250-0.075=0.1，
故說(shuō)課評(píng)價(jià)為2分的教師數(shù)為160×0.1=16人．
由條件可知，這16人中總分為4分的有4人，總分為5分的有12人．
設(shè)從這16人中任選2人，得分總和為X，則X的可能值為8分，9分，10分．
則$P（X=8）=\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{16}^{2}}=\frac{1}{20}，P（X=9）$=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{16}^{2}}=\frac{2}{5}$，$P（X=10）=\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{16}^{2}}=\frac{11}{20}$．
則X的分布列為：

X	8	9	10
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{11}{20}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=$8×\frac{1}{20}+9×\frac{2}{5}+10×\frac{11}{20}=\frac{19}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖，考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，是中檔題．