Question

16．如圖，點(diǎn)F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線的斜率為3，與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，分別過(guò)P、Q向右準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M，N，且$\overrightarrow{PM}$=3$\overrightarrow{QN}$，求雙曲線的離心率的大小．

Answer 1

分析 設(shè)|$\overrightarrow{PM}$|=3|$\overrightarrow{QN}$|=3m．由雙曲線定義得，|PF|=3me．|QF|=me．過(guò)Q做QA垂直于PM，垂足Q，根據(jù)直線的斜率可知|AQ|=6m，進(jìn)而利用勾股定理求得e．

解答 解：設(shè)|$\overrightarrow{PM}$|=3|$\overrightarrow{QN}$|=3m．由雙曲線定義得，|PF|=3me．|QF|=me．過(guò)Q做QA垂直于PM，垂足Q．
∵過(guò)點(diǎn)F的直線的斜率為3，|AP|=2m．
∴|AQ|=6m，
∴（2m）²+（6m）²=（4me）²，
∴e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．