Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足：①f（x）-a^x•g（x）=0，②g（x）≠0③

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，④f′(x)•g(x)＜f(x)•g′(x)，設(shè)數(shù)列{

f(n)

g(n)

}(n∈N+)的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n的取值范圍是（　�。�

• A、(0，

  1

  2

  )
• B、[

  1

  2

  ，1)
• C、[1，

  3

  2

  )
• D、[

  3

  2

  ，2)

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分別令x等于1和x等于-1代入①得到兩個關(guān)系式，把兩個關(guān)系式代入②得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根據(jù)f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知函數(shù)

f(x)

g(x)

=a^x是減函數(shù)，對求得的a進(jìn)行取舍，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得其前n項(xiàng)和S_n，即可求得結(jié)果．

解答： 解：令x=1，由①得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=

g(-1)

a

，
分別代入②得：a+

1

a

=

5

2

，化簡得2a²-5a+2=0，
即（2a-1）（a-2）=0，
解得a=2或a=

1

2

．
∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），
∴[

f(x)

g(x)

]′＜0，
∴

f(x)

g(x)

=a^x是減函數(shù)，故a=

1

2

，
∴a_n=

f(n)

g(n)

=

1

2n

，
∴S_n=1-

1

2n

，
∵0＜

1

2n

≤

1

2

，
∴

1

2

≤1-

1

2n

＜1
故選：B．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用有理數(shù)指數(shù)冪公式化簡求值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，等比數(shù)列求和等知識，綜合性強(qiáng)，根據(jù)已知求出

f(x)

g(x)

=a^x的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力和應(yīng)用知識分析解決問題的能力，屬中檔題．