Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在與函數(shù)的圖象都相切的直線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，（2）[﹣1，+∞）

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，即得單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同，分別求得導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，可得﹣++﹣2＝0,利用導(dǎo)數(shù)研究方程有解條件，可得a的范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，；時(shí)，；

因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

（2）設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同，

則＝＝，

所以＝＝，

所以＝﹣，代入＝得：

﹣++﹣2＝0（*）

設(shè)﹣++﹣2

則

不妨設(shè)＝0（＞0），

則當(dāng)0＜＜時(shí)，＜0，當(dāng)＞時(shí)，＞0，

所以在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（，+∞）上單調(diào)遞增，

代入＝﹣2，

可得min＝＝2+2﹣+ln﹣2，

設(shè)＝2+2﹣+ln﹣2，，

則＝2+2++＞0對(duì)＞0恒成立，

所以在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，又＝0，

所以當(dāng)0＜＜1時(shí)≤0，即當(dāng)0＜≤1時(shí)≤0，

又當(dāng)x＝ea+2時(shí)F（x）＝﹣+lnea+2﹣a+﹣2＝（﹣a）2≥0，

因此當(dāng)0＜≤1時(shí)，函數(shù)必有零點(diǎn)；

即當(dāng)0＜≤1時(shí)，必存在使得（*）成立；

即存在，，使得函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同．

又由y＝﹣2x得y′＝﹣﹣2＜0，

所以y＝﹣2x在（0，1）單調(diào)遞減，

因此＝﹣2∈[﹣1，+∞），

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，+∞）．