Question

19．某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路l₁、l₂，海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段．為開發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB，且直線AB與曲線MPN有且僅有一個公共點P（即直線與曲線相切），如圖所示．若曲線段MPN是函數(shù)$y=\frac{a}{x}$圖象的一段，點M到l₁、l₂的距離分別為8千米和1千米，點N到l₂的距離為10千米，點P到l₂的距離為2千米．以l₁、l₂分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系xOy．
（1）求曲線段MPN的函數(shù)關系式，并指出其定義域；
（2）求直線AB的方程，并求出公路AB的長度（結果精確到1米）．

Answer 1

分析 （1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數(shù)關系式為$y=\frac{8}{x}$，可得其定義域；
（2）根據直線和曲線相切，利用判別式△=0進行求解即可．

解答 解：（1）由題意得M（1，8），則a=8，故曲線段MPN的函數(shù)關系式為$y=\frac{8}{x}$，
又得$N（10，\frac{4}{5}）$，所以定義域為[1，10]．
（2）由（1）知P（2，4），設直線方程為y-4=k（x-2），
聯(lián)立方程$y=\frac{8}{x}$，得kx²+2（2-k）x-8=0，
由判別式△=0得4（2-k）²+32k=4（k+2）²=0，得k=-2，
即直線AB的方程為y=-2x+8，
當x=0時，y=8，當y=0時，x=4，
即A（0，8），B（4，0），
則AB=$\sqrt{64+16}=\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$≈8944米．

點評 本題考查函數(shù)的應用問題，利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生分析解決問題的能力，確定函數(shù)關系是關鍵．