Question

【題目】如圖，記棱長(zhǎng)為1的正方體，以各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，以各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為，以各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，……，以此類推得一系列的多面體，設(shè)的棱長(zhǎng)為，則數(shù)列的各項(xiàng)和為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)條件求出，，，，然后歸納得到：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是等比數(shù)列，然后求和即可.

正方體各面中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正八面體，

它的中截面（垂直平分對(duì)頂點(diǎn)連線的界面）是正方形，

該正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度等于正方體的棱長(zhǎng)，

所以，

以各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正方體，

正方體面對(duì)角線長(zhǎng)等于棱長(zhǎng)的，（正三角形中心到對(duì)邊的距離等于高的），

因此對(duì)角線為，所以，

以上方式類推得到，，，

所以各項(xiàng)為，

奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，

偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的各項(xiàng)和為.

故答案為：.