Question

8．已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和．等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)分別為a₂，a₅，a₁₁．
（1）求數(shù)列{b_n}的公比q；
（2）若a₁=1，$\overrightarrow{O{Q_n}}$=（${\frac{a_n}{n}$，$\frac{S_n}{n^2}}$）（n∈N^*），求|${\overrightarrow{O{Q_n}}}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接由a₂，a₅，a₁₁成等比數(shù)列求得數(shù)列{b_n}的公比q；
（2）寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，求得向量${\overrightarrow{O{Q_n}}}$的坐標(biāo)，代入模的計(jì)算公式，結(jié)合n的范圍利用配方法求得|${\overrightarrow{O{Q_n}}}$|的最大值．

解答 解：（1）∵a₂，a₅，a₁₁是等比數(shù)列，
∴$a_5^2={a_2}•{a_{11}}$，即${（{{a_1}+4d}）^2}=（{a_1}+d）（{a_1}+10d）$，
∴a₁=2d，$q=\frac{a_5}{a_2}=2$；
（2）∵${a_n}={a_1}+（n-1）d=（n+1）d=\frac{1}{2}（n+1）$，${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（n+3）}{4}$，
∴$\overrightarrow{O{Q_n}}=（{\frac{a_n}{n}，\frac{S_n}{n^2}}）=（{\frac{n+1}{2n}，\frac{n+3}{4n}}）$，
則$|{\overrightarrow{O{Q_n}}}|=\sqrt{{{（\frac{n+1}{2n}）}^2}+{{（{\frac{n+3}{4n}}）}^2}}=\sqrt{\frac{{5{n^2}+14n+13}}{{16{n^2}}}}=\sqrt{\frac{5}{16}+\frac{7}{8n}+\frac{13}{{16{n^2}}}}$
=$\sqrt{\frac{13}{16}{{（\frac{1}{n}+\frac{7}{13}）}^2}+\frac{1}{13}}$．
∵n≥1，∴$0＜\frac{1}{n}≤1$．
則$\sqrt{\frac{13}{16}{{（\frac{1}{n}+\frac{7}{13}）}^2}+\frac{1}{13}}≤\sqrt{2}$，當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)．
∴$|{\overrightarrow{O{Q_n}}}|$的最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了向量模的求法，屬中檔題．