Question

13．正三棱錐P-ABC中，有一半球，某底面所在的平面與正三棱錐的底面所在平面重合，正三棱錐的三個側面都與半球相切，如果半球的半徑為2，則當正三棱錐的體積最小時，正三棱錐的高等于2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，設三棱錐的高 PO=x，底面△ABC的AB邊上的高 CD=3y，求出x，y的關系，推出體積的表達式，利用函數的導數求出函數的最小值，即可求出高的值．

解答 解：根據題意，畫出圖形如下，
其中，立體圖形只畫出了半球的底面．
設三棱錐的高 PO=x，
底面△ABC的AB邊上的高 CD=3•OD=3y
在縱切面圖形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，
則 $\frac{PO}{EO}$=$\frac{PD}{OD}$，而 PD=$\sqrt{{PO}^{2}+{OD}^{2}}$，即 $\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{y}$，整理得 x²y²=4x²+4y²，
所以 y²=4×$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}-4}$，
而三棱錐P-ABC的體積等于 $\frac{1}{3}$×底面△ABC的面積×高PO，即V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×AB×CD×PO=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$y×3y×x=$\sqrt{3}$y²x=4×$\frac{{\sqrt{3}x}^{3}}{{x}^{2}-4}$，
對體積函數求導，得
V′=4×$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}（{x}^{2}-12）}{（{x}^{2}-4）^{2}}$，令V′=0，解得唯一正解 x=2$\sqrt{3}$，
由該體積函數的幾何意義可知 x=2$\sqrt{3}$為其體積最小值點，
故三棱錐體積最小時V_min=24，高為2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查幾何體的內接球的問題，函數的導數的應用，考查空間想象能力以及計算能力．