Question

（08年廈門外國語學校模擬文）（14分）

已知雙曲線的方程為，離心率為2，過點的直線交雙曲線于不同兩點、，為坐標原點.

   （Ⅰ）若直線的傾斜角為， 且，求；

   （Ⅱ）若雙曲線的一個焦點為，求的取值范圍.

Answer 1

解析：因為 （是雙曲線的半焦距）且，有，

則雙曲線的標準方程可化為 ……………………………（1分）

   （Ⅰ）設直線與雙曲線的交點為

    ，有，則

    由

    有，有，則

        ……………………………（5分）

   （Ⅱ）由雙曲線的焦點是，則有，又因為，則，

    那么雙曲線的標準方程為．   ……………………………………（6分）

   （1）當直線斜率不存在時，直線的方程為，

    則點此時.……………………………………（7分）

   （2）當直線斜率存在時，直線的方程為，則聯立直線與雙曲線方程

    有， 有 ，

    則，…………………………………（9分）

    那么

   

    由 有， 則

即

綜（1）、（2） 有的范圍是………（14分）