Question

【題目】已知實數(shù)，定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）求實數(shù)值；

（Ⅱ）判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明；

（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得對任意的，不等式恒成立．若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上遞增，證明詳見解析；（Ⅲ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，得到恒成立，即恒成立，進(jìn)而得到，即可求出結(jié)果；

（Ⅱ）任取，且，根據(jù)題意，作差得到，進(jìn)而可得出函數(shù)單調(diào)性；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)在上遞增，由函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上遞減，再由題意，不等式恒成立可化為恒成立，即對任意的恒成立，根據(jù)判別式小于0，即可得出結(jié)果.

（Ⅰ）因為定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，則恒成立，

即，故恒成立，

因為不可能恒為，所以當(dāng)時， 恒成立，

而，所以．

（Ⅱ）該函數(shù)在上遞增，證明如下

設(shè)任意，且，則

，因為，所以，且；

所以，即，即；

故函數(shù)在上遞增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)在上遞增，而函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)在上遞減．若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式恒成立．則恒成立，即，

即對任意的恒成立，

則，得到，故，

所以不存在．