Question

16．已知m＞0，n＞0，且m+n=1，試用分析法證明不等式$（{m+\frac{1}{m}}）•$$（{n+\frac{1}{n}}）≥\frac{25}{4}$成立．

Answer 1

分析 利用分析法，從要證的結論入手，尋找不等式成立的充分條件，直到該條件（被找到）顯然成立，從而知原結論成立．

解答 證明：要證$（{m+\frac{1}{m}}）•（{n+\frac{1}{n}}）≥\frac{25}{4}$，
只需證$mn+\frac{{{m^2}+{n^2}+1}}{mn}≥\frac{25}{4}$，
只需證$mn+\frac{2}{mn}-2≥\frac{25}{4}$，
只需證4（mn）²-33mn+8≥0，即證mn≥8或$mn≤\frac{1}{4}$，
而由$1=m+≥2\sqrt{mn}$，可得$mn≤\frac{1}{4}$顯然成立，
所以不等式$（{m+\frac{1}{m}}）•（{n+\frac{1}{n}}）≥\frac{25}{4}$成立．

點評 本題考查不等式的證明，著重考查分析法證明不等式，考查推理論證能力，難度中檔．