Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面平面，且，為等邊三角形，，，.與平面所成角的正弦值為.

（1）證明:平面；

（2）若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意求出，從而可得，進(jìn)而可得，利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

（1）平面平面，且，則平面

所以，因?yàn)?/span>，，為等邊三角形，

所以，

又，，且，

所以平面，所以，

所以為與平面所成角，

在中，，

由,

則

所以，

解得，

在中，可得，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，

由（1）知，

分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則，，，，

則，，

設(shè)平面的法向量為，

，令，，

設(shè)平面的法向量為，

則，令，，

設(shè)二面角的平面角為，

則.