Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），f（x）在x=1處取得極值，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）若對于任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數(shù)c的最小值；
（2）若過點(diǎn)M（2，m）（m≠2），可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題（1）可以求出f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值，再利用|f（x₁）-f（x₂）|≤c，得到本題結(jié)論；（2）從切點(diǎn)出發(fā)，利用函數(shù)式求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，用點(diǎn)斜式得到切線方程，將點(diǎn)M（2，m）代入方程，得到相應(yīng)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化得方程有三個根，即相應(yīng)函數(shù)與x軸有三個不同公共點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖象特征，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx-3=0，
由f′（x）是偶函數(shù)得b=0．
又f′（1）=0，
∴a=1．
∴f（x）=x³-3x．
令f′（x）=3x²-3=0，
解得x=±1．

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2		極大值		極小值		2

∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴當(dāng)x∈[-2，2]時，[f（x）]_max=2，[f（x）]_min=-2．
則對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有
|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min=4，
∴c≥4．
∴c的最小值為4．
（2）∵點(diǎn)M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，
∴設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）．
則y0=x03-3x0．
∵f′(x0)=3x02-3，
∴切線的斜率為3x02-3．
則3x02-3=

x03-3x0-m

x0-2

，
即2x03-6x02+6+m=0．
因為過點(diǎn)點(diǎn)M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
所以方程即2x03-6x02+6+m=0有三個不同的實數(shù)解．
即函數(shù)g（x）=2x³-6x²+6+m有三個不同的零點(diǎn)．
則g′（x）=6x²-12x．
令g′（x）=0，解得 x=0或x=2．

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）		極大值		極小值

∴

g(0)＞0 g(2)＜0

 即

6+m＞0 -2+m＜0

，
解得-6＜m＜2．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系，本題思維難度大，計算量大，屬于難題．