Question

15．已知{a_n}，{b_n}是滿足（1+$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n+b_n$\sqrt{2}$的兩個無窮數(shù)列，推測a_n ，b_n表示（1-$\sqrt{2}$）ⁿ的表達式，并加以證明．

Answer 1

分析 利用二項式定理與數(shù)學歸納法即可證明．

解答 解：∵（1+$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n+b_n$\sqrt{2}$，
∴當n=1時，a₁=1，b₁=1．∴$1-\sqrt{2}$=a₁-b₁$\sqrt{2}$．
當n=2時，$（1+\sqrt{2}）^{2}$=3+2$\sqrt{2}$，可得a₂=3，b₂=2；∴$（1-\sqrt{2}）^{2}$=3-2$\sqrt{2}$=a₂-b₂$\sqrt{2}$．
推測a_n ，b_n表示（1-$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n-b_n$\sqrt{2}$．
下面給出證明：由（1+$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n+b_n$\sqrt{2}$，可得$（1+\sqrt{2}）^{n+1}$=$（{a}_{n}+_{n}\sqrt{2}）$$（1+\sqrt{2}）$=（a_n+2b_n）+（a_n+b_n）$\sqrt{2}$，
∴a_n+1=（a_n+2b_n），b_n+1=（a_n+b_n）．
（1）當n=1時，$1-\sqrt{2}$=a₁-b₁$\sqrt{2}$成立；
（2）假設當n=k（k∈N^*）時，$（1-\sqrt{2}）^{k}$=a_k-b_k$\sqrt{2}$．
則當n=k+1時，$（1-\sqrt{2}）^{k+1}$=（a_k-b_k$\sqrt{2}$）$（1-\sqrt{2}）$=（a_k+2b_k）-（a_k+b_k）$\sqrt{2}$=a_k+1-b_k+1$\sqrt{2}$．
因此當n=k+1時，命題成立．
綜上可得：?n∈N^*，（1-$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n-b_n$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二項式定理與數(shù)學歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．