Question

如圖,四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2, ∠ACB=∠ACD=.

(1)求證:BD⊥平面PAC;

(2)若側(cè)棱PC上的點F滿足PF=7FC,求三棱錐PBDF的體積.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析 (2)

【解析】

(1)證明:因為BC=CD,所以△BCD為等腰三角形,

又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.

因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.

從而BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA,AC都垂直,

所以BD⊥平面PAC.

(2)解:三棱錐PBCD的底面BCD的面積S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin =.

由PA⊥底面ABCD,得

=·S△BCD·PA=××2=2.

由PF=7FC,得三棱錐FBCD的高為PA,

故=·S△BCD·PA=×××2=,

所以=-=2-=.