Question

2．已知$f（x）=\frac{x}{|lnx|}$，若關(guān)于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²+m=0，恰好有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． $（\frac{1}{e}，2）∪（2，e）$
• B． $（\frac{1}{e}+1，e）$
• C． （e-1，e）
• D． $（\frac{1}{e}，e）$

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，求出極值，得出方程f（x）=t的解的情況，得出關(guān)于t的方程t²-（2m+1）t+m²+m=0的根的分布區(qū)間，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式解出m的范圍．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{-lnx}，0＜x＜1}\\{\frac{x}{lnx}，x＞1}\end{array}\right.$，∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-lnx}{l{n}^{2}x}，0＜x＜1}\\{\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}，x＞1}\end{array}\right.$．
∴當(dāng)0＜x＜1或x＞e時，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜e時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
作出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：

令f（x）=t，則當(dāng)0＜t＜e時，方程f（x）=t有1解，
當(dāng)t=e時，方程f（x）=t有2解，
當(dāng)t＞e時，方程f（x）=t有3解，
∵關(guān)于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²+m=0，恰好有4個不相等的實數(shù)根，
∴關(guān)于t的方程t²-（2m+1）t+m²+m=0在（0，e）和（e，+∞）上各有一解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m＞0}\\{{e}^{2}-（2m+1）e+{m}^{2}+m＜0}\end{array}\right.$，解得e-1＜m＜e．
故選C．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．