Question

【題目】半圓的直徑的兩端點為,點在半圓及直徑上運動,若將點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到點,記點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)若稱封閉曲線上任意兩點距離的最大值為該曲線的“直徑”,求曲線的“直徑”.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析 （2）.

【解析】

(1)設(shè),則,由題意可知當在直徑上時,顯然;當在半圓上時,,即可求得答案;

(2)設(shè)曲線上兩動點,顯然,至少有一點在橢圓上時才能取得最大,不妨設(shè),,根據(jù)不等式性質(zhì),即可求得曲線的“直徑”.

(1)設(shè),則,

由題意可知當在直徑上時,顯然;

當在半圓上時,,

曲線的方程為或.

(2)設(shè)曲線上兩動點,

顯然,至少有一點在橢圓上時才能取得最大,

不妨設(shè),

則,

等號成立時:,或,,

由兩點距離公式可得:,

故曲線的“直徑”為.