Question

8．根據(jù)下面各個數(shù)列{a_n}的首項和遞推關系，求其通項公式．
（1）a₁=1，a_n+1=a_n+2n（n∈N^*）；
（2）a₁=1，a_n+1=+$\frac{n}{n+1}$a_n（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）采用迭加法，利用遞推關系a_n+1-a_n=2n，代入變式a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）即可求出a_n
（2）采用疊乘法，由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，即可導出每一項與前一項的比值，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n-1}$，…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，相乘得出$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，驗證n=1，即可得出通項公式．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=a_n+2n（n∈N^*）；
∴a_n-a_n-1=2（n-1），
得出：a_n-a_n-1=2（n-1），
a_n-1-a_n-2=2（n-2），
…
a₂-a₁=2×1，
n-1個式子相加得出：a_n-a₁=2（1+2+3+…+（n-1））=n（n-1），
∴a_n=n（n-1）+1，n≥2
n=1時，a₁=1×（1-1）+1=1，符合公式，
通項公式a_n=n（n-1）+1．
（2）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{n}{n+1}$a_n（n∈N^*）．
∴根據(jù)遞推關系式得出：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n-1}$，
…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
n-1個式子相乘得出：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，n≥2，
即a_n=$\frac{1}{n}$×1=$\frac{1}{n}$，n≥2，
n=1，a₁=$\frac{1}{1}$=1，符合題意，
∴其通項公式a_n=$\frac{1}{n}$，

點評 本例主要復習求通項公式的幾種方法：迭加法、迭乘法；屬于數(shù)列求通項的重要方法，難度適中，屬于中檔題，關鍵是驗證n=1的情況，思路要嚴密．