Question

2．已知f（x）=lnx-e^x+a．
（1）若x=1是f（x）的極值點，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a≥-2時，證明f（x）在定義域內(nèi)無零點．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=1是f（x）的極值點，求出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)的正負，即可得出f（x）的單調(diào)性
（2）a≥-2時，e^x+a≥e^x-2，lnx-e^x+a≤lnx-e^x-2，只需證明g（x）=lnx-e^x-2＜0，求出g（x）_max＜0，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵f（x）=lnx-e^x+a，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x+a，
∵x=1是f（x）的極值點，
∴1-e^1+a=0，
∴a=-1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x-1，
x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
（2）證明：當(dāng)a≥-2時，e^x+a≥e^x-2，lnx-e^x+a≤lnx-e^x-2，
令g（x）=lnx-e^x-2．
∵g′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x-2，
由g′（x）=0得$\frac{1}{x}$=e^x-2，方程有唯一解x₀∈（1，2），
∴x∈（0，x₀）時，g′（x）＞0，g（x）在（0，x₀）內(nèi)單調(diào)遞增，
x∈（x₀，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）在（x₀，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=lnx₀-e^x₀-2=-x₀+2-$\frac{1}{{x}_{0}}$
∵x₀∈（1，2），
∴x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$＞2，
∴g（x）_max＜0
綜上，當(dāng)a≥-2時，f（x）＜0，
∴f（x）在定義域內(nèi)無零點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．