Question

已知函數(shù)，若，則稱(chēng)為的“不動(dòng)點(diǎn)”；若，則稱(chēng)為的“穩(wěn)定點(diǎn)”。記集合

（1）已知，若是在上單調(diào)遞增函數(shù)，是否有？若是，請(qǐng)證明。

（2）記表示集合中元素的個(gè)數(shù)，問(wèn)：

若函數(shù)，若,則是否等于0？若是，請(qǐng)證明，

若，試問(wèn)：是否一定等于1？若是，請(qǐng)證明

Answer 1

（1）證明：先證 任取，則

                   

       再證 任取

           若，不妨設(shè)

           由單調(diào)遞增可知： 與 矛盾

           同理也矛盾，所以

          

      綜上：

（2）①若  由于無(wú)實(shí)根  則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，

     從而  故無(wú)實(shí)根

  同理若  對(duì)任意實(shí)數(shù)x， ，從而 

故也無(wú)實(shí)根

  

②不妨設(shè)是B中唯一元素  則

  令  那么  而

  故  說(shuō)明t也是的不動(dòng)點(diǎn)

  由于 只有唯一的不動(dòng)點(diǎn)   故  即

  這說(shuō)明t也是的不動(dòng)點(diǎn)，從而存在性得證

以下證明唯一性：若還有另外一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)m，即

  則  這說(shuō)明還有另外一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)m

  與題設(shè)矛盾。