Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切. 、是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)四邊形面積取最大值時，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） =2.

【解析】試題分析：（1）利用離心率和直線與圓相切以及的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，得到的橫坐標(biāo)，求出點(diǎn)到直線的距離，得到四邊形面積關(guān)于的表達(dá)式，再利用基本不等式進(jìn)行求解．

試題解析：（Ⅰ）由題意知： ＝ ， ．

又圓與直線相切， ， ，

故所求橢圓的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，其中，

將代入橢圓的方程整理得： ，

故．①

又點(diǎn)到直線的距離分別為，

，

所以四邊形的面積為

，

當(dāng)，即當(dāng)時，上式取等號，所以當(dāng)四邊形面積的最大值時， ．