Question

11．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin²x，x∈R，將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，把所得到的圖象再向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求：
（I）函數(shù)g（x）的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]上的最值．

Answer 1

分析 （I）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再由函數(shù)圖象變換可得g（x）=2sin（4x+$\frac{5π}{6}$），解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]，結合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值．

解答 解：（I）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由函數(shù)圖象變換可得g（x）=2sin[4（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$）]=2sin（4x+$\frac{5π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{5π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$，$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]，∴4x+$\frac{5π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（4x+$\frac{5π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴2sin（4x+$\frac{5π}{6}$）∈[1，2]，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]上的最大值為2，最小值為1．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及函數(shù)圖象的變換和三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬中檔題．