Question

11．若函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1在區(qū)間[-1，1]上至少有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是a≤-2或2≤a≤2.5．

Answer 1

分析 令t=2^x（$\frac{1}{2}$≤t≤2），y=t²-at+1=（t-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，通過題意知，需討論二次函數(shù)f（x）對稱軸的分布情況，解出a即可．

解答 解：令t=2^x（$\frac{1}{2}$≤t≤2），y=t²-at+1=（t-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$
對稱軸x=$\frac{a}{2}$，
①若$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$或$\frac{a}{2}$≥2，即a≥4或a≤1時，
則在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上有零點的條件是：f（$\frac{1}{2}$）•f（2）≤0，無解；
②若$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜2，即1＜a＜4時，
則在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上有零點的條件是：f（-$\frac{a}{2}$）＜0，且f（$\frac{1}{2}$），f（2）中有一個大于0，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\\{\frac{5}{4}-\frac{a}{2}＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\\{5-2a＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-2或2＜a＜2.5，取“=”也成立，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是：2≤a≤2.5，
故答案為：2≤a≤2.5．

點評 熟練掌握二次函數(shù)圖象以及對稱軸、取零點的情況是求解本題的關(guān)鍵．