Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為射線交曲線C于點(diǎn)A,傾斜角為α的直線l過(guò)線段OA的中點(diǎn)B且與曲線C交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的參數(shù)方程;

(2)當(dāng)直線l傾斜角α為何值時(shí), |BP|·|BQ|取最小值, 并求出|BP|·|BQ|最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)））（2）當(dāng)時(shí),取得最小值為

【解析】

（1）由求得曲線的直角坐標(biāo)方程；先求出曲線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo),即可得到的中點(diǎn),進(jìn)而求解即可；

（2）由（1）,將直線的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標(biāo)方程中,由參數(shù)的幾何意義可得,進(jìn)而求解即可.

（1）由題,因?yàn)?/span>,即,

因?yàn)?/span>,

所以,即,

則曲線的直角坐標(biāo)方程為,

因?yàn)樯渚�交曲線于點(diǎn),所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為,

則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,所以的中點(diǎn)為,

所以傾斜角為且過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線的方程中,

整理可得,

設(shè)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別是、,則有,

則,

因?yàn)?/span>,當(dāng),即時(shí),取得最小值為