Question

在△ABC中，A，B，C分別是邊a，b，c所對應的角，且cosA=

4

5

．
（Ⅰ）求sin²

A+B

2

+cos2A的值；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據二倍角的余弦公式化簡sin2

B+C

2

+cos2A，再把cosA=

4

5

代入求值；
（Ⅱ）根據題意和余弦定理得：

8

5

bc+4=b2+c2≥2bc，求出bc 的范圍，再代入三角形的面積公式求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，cosA=

4

5

，且A+B+C=π，
所以sin2

B+C

2

+cos2A=

1-cos(B+C)

2

+cos2A
=

1+cosA

2

+2cos2A-1=

1+ 4 5

2

+2×(

4

5

)2-1=

59

50

…6分
（Ⅱ）由cosA=

4

5

得，sinA=

3

5

，…6分
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

10

bc…8分
又a=2，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4，…10分
即：

8

5

bc+4=b2+c2≥2bc，…12分
則bc≤10，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

10

bc≤3，當且僅當b=c時等號成立…14分
則面積的最大值為3．…15分．

點評：本題考查二倍角的余弦公式，余弦定理，三角形的面積公式，以及不等式的應用，屬于中檔題．