Question

如圖（1），正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E₁，F(xiàn)₁分別是邊A₁B₁、C₁D₁的中點．沿平面BCF₁E₁將正方體切割成左右兩個幾何體，再將右邊的幾何體補到左邊，形成如圖（2）的幾何體．
（1）判斷直線A₁F₁與直線EC是否平行，并加于證明；
（2）求直線FD₁與平面BCF₁E₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）假設直線A₁F₁∥EC，過F₁作CD的垂線，垂足為N，利用正方體的性質得到A₁F₁∥AN，得到AN∥EC，而AN與EC相交，得到矛盾；
（Ⅱ）連接AE₁，過A作BE₁的垂線，垂足為G，得到∠AE₁G是直線FD₁與平面BCF₁E₁所成角，計算即可．

解答： 解：（Ⅰ）直線A₁F₁與直線EC平行；
證明：假設直線A₁F₁∥EC，過F₁，作CD的垂線，垂足為N，
因為上下底面平行，所以則A₁F₁∥AN，所以AN∥EC，與A_N與EC相交矛盾，
所以假設不成立，即直線A₁F₁與直線EC不平行；
（Ⅱ）連接AE₁，因為點E₁，F(xiàn)₁分別是邊A₁B₁C₁D₁的中點，
AE₁∥FD₁，
過A作BE₁的垂線，垂足為G，因為幾何體是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
所以平面BCF₁E₁⊥平面ABE₁A₁，
所以AG⊥平面平面BCF₁E₁，
所以∠AE₁G是直線FD₁與平面BCF₁E₁所成角，
因為正方體棱長為2，所以AE₁=BE₁=

5

，AG=

2×2

5

，
所以sin∠AE₁G=

AG

AE1

=

4 5 5

5

=

4

5

，
所以直線FD₁與平面BCF₁E₁所成角的正弦值

4

5

．

點評：本題考查了空間直線與直線的位置關系以及直線與平面所成的角的求法；關鍵是將空間角轉為平面角．