Question

【題目】已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)， 為橢圓上異于橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，記直線斜率分別為、，若，請(qǐng)判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】【試題分析】（1）將的坐標(biāo)代入橢圓方程得到一個(gè)方程，利用四邊形的面積可得到另一個(gè)方程，結(jié)合，聯(lián)立方程組可解得的值.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出判別式和韋達(dá)定理，代入，化簡(jiǎn)后可求得定點(diǎn)坐標(biāo).

【試題解析】

（1）由點(diǎn)在橢圓上可得： ，整理為： ，

由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的連接線構(gòu)成的四邊形的面積為可得： ，即，

可得，由可解得： ，故橢圓的方程為： ．

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故，可得，

設(shè)直線的方程為（直線的斜率存在），

可得，

整理為： ，

聯(lián)立，消去得： ，

由 ，有，

有， ，

故有： ，

整理得： ，解得： 或，

當(dāng)時(shí)直線的方程為，即，過(guò)定點(diǎn)不合題意，

當(dāng)時(shí)直線的方程為，即，過(guò)定點(diǎn)．