Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點恰好是拋物線的焦點

（1）求橢圓的方程；

（2）已知、是橢圓上的兩點， ， 是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

②當， 運動時，滿足,試問直線的斜率是否為定值，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析: (1)由橢圓的離心率及短軸端點坐標求出 ,得到橢圓方程; (2)①設(shè) 設(shè)直線AB方程為 ，聯(lián)立直線與橢圓方程,消去 ,得到一個關(guān)于 的二次方程,求出 ,再求出 ,代入三角形面積公式,求出最大值; ②由 得到直線斜率之和為0，設(shè)直線 斜率為 ,則直線斜率為,直線 方程為,代入橢圓方程中,求出 的表達式,同理求出的表達式,再求出 的值,代入直線的斜率計算公式中,結(jié)果為定值.

試題解析:（1） ∴

∴ 又

∴ ∴ 橢圓方程為

（2）①設(shè) ，

設(shè)方程 代入化簡

，

又、

當時， 最大為

②當時， 、斜率之和為.

設(shè)斜率為，則斜率為

設(shè)方程

代入化簡

同理

，

∴

直線的斜率為定值

點睛:本題主要考查了橢圓的標準方程及性質(zhì),直線與橢圓相交問題,一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,斜率的計算公式,考查了推理與計算能力, 屬于難題.