Question

13．若函數(shù)f（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1在區(qū)間（0，2）上不單調，則實數(shù)k的取值范圍為（-5，-2）．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)在區(qū)間（0，2）上恒大于等于0或恒小于等于0求出k的取值范圍，再取補集得答案．

解答 解：f′（x）=3x²+2（k-1）x+k+5，
若函數(shù)f（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1在區(qū)間（0，2）上單調，
則4（k-1）²-12（k+5）≤0 ①
或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-k}{3}≤0}\\{f′（0）=k+5≥0}\end{array}\right.$ ②
或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-k}{3}≥2}\\{f′（2）=12+4（k-1）+k+5≥0}\end{array}\right.$ ③
或$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=k+5≤0}\\{f′（2）=12+4（k-1）+k+5≤0}\end{array}\right.$ ④．
解①得-2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈∅；解④得k≤-5．
綜上，滿足函數(shù)f（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1在區(qū)間（0，2）上單調的k的范圍為k≤-5或k≥-2．
于是滿足條件的實數(shù)k的范圍為（-5，-2）．
故答案為：（-5，-2）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．