Question

3．已知f（x）是奇函數(shù)，且對(duì)于任意x∈R滿(mǎn)足f（2-x）=f（x），當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=lnx+2，則函數(shù)y=f（x）在（-2，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿(mǎn)足f（2-x）=f（x）知，f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且關(guān)于直線x=1+2k（k∈R）成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于點(diǎn)（2k，0）（k∈Z）成中心對(duì)稱(chēng)，再求出函數(shù)的零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 解：由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿(mǎn)足f（2-x）=f（x）知，f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
且關(guān)于直線x=1+2k（k∈R）成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于點(diǎn)（2k，0）（k∈Z）成中心對(duì)稱(chēng)．
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，令f（x）=lnx+2=0，得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，由此得y=f（x）在（-2，4]上的零點(diǎn)分別為-2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，-$\frac{1}{{e}^{2}}$，0，$\frac{1}{{e}^{2}}$，2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，2，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，-$\frac{1}{{e}^{2}}$+4，4共9個(gè)零點(diǎn)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．