Question

【題目】以任意方式把空間染成五種顏色(每點(diǎn)屬于一色,每色的點(diǎn)都有).

(1)證明:存在一個(gè)平面,至少含有四種不同顏色的點(diǎn);

(2)是否一定存在五色平面?

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 不一定.

【解析】

(1)若存在四色線,則含有的平面即為所求.若存在三色線,

則在線外可再取到一個(gè)第四色的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)和線的平面即為所求.

假若任一直線上都不多于兩色,為此,

用分別表示這五種顏色的點(diǎn)所構(gòu)成的點(diǎn)集.取點(diǎn),,過(guò)的直線記為,則直線上其余的點(diǎn)也屬于或.

不妨設(shè)直線上有點(diǎn),在空間分別取點(diǎn)、,過(guò)的平面記為,

則直線與平面有公共點(diǎn).

若,則平面即為所求(這時(shí),平面上含有四色).

若,在空間再取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)和直線作平面,

則平面和平面的交線為過(guò)的直線.在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)的兩條直線和中,

至少有一條要與直線相交,不妨設(shè),則點(diǎn)屬于或.

于是,平面至少含有四色(或含或含).

(2)不一定.例如,若將四面體的四個(gè)頂 點(diǎn)分別染成四色,

空間其余的點(diǎn)全染成色,這時(shí),不存在五色平面.