Question

13．在扇形OAB中，∠AOB=105°，C為弧AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，則x+$\sqrt{2}$y的取值范圍是[1，2]．

Answer 1

分析 可畫(huà)出圖形，然后做CD∥OB，CE∥OA，分別交于OA，OB于D，E，可以說(shuō)明$x=\frac{|\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OA}|}，y=\frac{|\overrightarrow{OE}|}{|\overrightarrow{OB}|}$，而OA，OB都是扇形的半徑，從而當(dāng)C從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，$|\overrightarrow{OD}|，|\overrightarrow{OE}|$的變化便反映了x，y的變化，而再由y的系數(shù)較大，由圖形便可看出C與A重合時(shí)，x$+\sqrt{2}y$取到最小值1，而當(dāng)∠AOC=60°時(shí)，$x+\sqrt{2}y$便取到最大值2，這樣便得出了x+$\sqrt{2}$y的取值范圍．

解答 解：如圖，過(guò)C作CD∥OB，交OA于D，作CE∥OA，交OB于E，則四邊形OECD為平行四邊形；

∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}$，又$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$；
∴$x\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}，y\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OE}$；
∴$x=\frac{|\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OA}|}，y=\frac{|\overrightarrow{OE}|}{|\overrightarrow{OB}|}$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$=r；
∴$|\overrightarrow{OD}|，|\overrightarrow{OE}|$的大小反映了x，y的大�。�
又y系數(shù)較大，當(dāng)點(diǎn)C沿AB弧由A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，$|\overrightarrow{OD}|$變短，而$|\overrightarrow{OE}|$變長(zhǎng)；
∴由圖形可看出：當(dāng)C和A重合時(shí)，x取最大值1，y取最小值0，∴x$+\sqrt{2}y$取到最小值1；
當(dāng)∠AOC=60°時(shí)，x=$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$，$y=\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$，∴$x+\sqrt{2}y$取到最大值2；
∴$x+\sqrt{2}y$的取值范圍為[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合圖形解決問(wèn)題的方法．