Question

4．若f（x）=$\frac{2x+3}{x+a}$在（-1，+∞）上滿足對任意x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），則a的取值范圍為（$\frac{3}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用分式函數(shù)的單調(diào)性，利用分子常數(shù)化，建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵在（-1，+∞）上滿足對任意x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），
∴在（-1，+∞）上函數(shù)為增函數(shù)，
由f（x）=$\frac{2x+3}{x+a}$=$\frac{2（x+a）+3-2a}{x+a}$=2+$\frac{3-2a}{x+a}$，
則函數(shù)的定義域為（-∞，-a）∪（-a，+∞），
若在（-1，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增，
則$\left\{\begin{array}{l}{3-2a＜0}\\{-a≤-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{3}{2}}\\{a≥1}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{3}{2}$，
故答案為：（$\frac{3}{2}$，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用分式函數(shù)的性質(zhì)利用分子常數(shù)化是解決本題的關(guān)鍵．