Question

如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn).

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）已知的切線(xiàn)總與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，求的取值范圍。

Answer 1

（1）由題意，，

根據(jù)橢圓的定義，Q點(diǎn)軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且,………………2分

∴曲線(xiàn)C的軌跡方程是.………………4分

（2）先考慮切線(xiàn)的斜率存在的情形. 設(shè)切線(xiàn)：，則

     由與⊙O相切得 即  ①……………6分

由，消去得，,

設(shè)，，則由韋達(dá)定理得

，……………8分

 

②……………………10分

由于滿(mǎn)足，對(duì)此

結(jié)合①式可得…………………………………………12分

最后考慮特殊情況：

當(dāng)滿(mǎn)足的那條切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為

代入橢圓方程可得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因，故，得到