Question

10．從包含A同學的若干名同學中選出4名參加英語、數(shù)學、物理、化學競賽，每名同學只參加一科競賽，若A同學不參加英語，數(shù)學競賽，則共有72種不同的參賽方法，一共有多少名同學參加競賽？

Answer 1

分析 設共有n名同學，首先從這n名同學中選出4人．然后再分別參加競賽，按同學A進行分類，所以根據(jù)分類計數(shù)原理，得到${A}_{n-1}^{4}$+${A}_{2}^{1}•{A}_{n-1}^{3}$=72，解得即可．

解答 解：設共有n名同學，首先從這n名同學中選出4人．然后再分別參加競賽，按同學A進行分類：
第一類，不選A，則從剩下的n-1名同學中選出4人分別參加4種競賽，有${A}_{n-1}^{4}$種參賽方式；
第二類：選A，首先安排A，有${A}_{2}^{1}$種方法，再從剩下的n-1名同學中選出3人參加剩下的3科競賽，有${A}_{n-1}^{3}$種方法，共有${A}_{2}^{1}•{A}_{n-1}^{3}$種參賽方式．
所以根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有${A}_{n-1}^{4}$+${A}_{2}^{1}•{A}_{n-1}^{3}$種方法，
根據(jù)題意，得${A}_{n-1}^{4}$+${A}_{2}^{1}•{A}_{n-1}^{3}$=72，
即（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）+2（n-1）（n-2）（n-3）=72，
即（n-1）（n-2）（n-3）[（n-4）+2]=（n-1）（n-2）（n-2）（n-3）=4×3×3×2，
解得n=5．

點評 本題考查了分類計數(shù)原理和排列數(shù)公式的應用，關鍵是分類，屬于中檔題．