Question

【題目】已知橢圓上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦的距離之和為，以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)這兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)， 分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)．

（）求圓和橢圓的方程．

（）已知， 分別是橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)（， 位于軸兩側(cè)），且直線與軸平行，直線， 分別與軸交于點(diǎn)， ．求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（）； ；（）見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)橢圓定義知，又，因此易求得，得橢圓方程，從而也得到圓的方程；

（2）設(shè)出， ，分別代入橢圓方程和圓的方程得到兩個(gè)關(guān)系式，寫出直線AP的方程，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，同理寫出BP方程，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，再求得向量，并計(jì)算數(shù)量積，結(jié)果為0，可得．

試題解析：

（）依題意，得， ，

∴圓方程，橢圓方程．

（）設(shè)， ，

∴， ， ，

∵方程，令時(shí)， ，

方程為，令得，

∴， ，

∴，

∴．