Question

5．已知向量$\overrightarrow a=（{1，cos2x}），\overrightarrow b=（{sin2x，-\sqrt{3}}）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（Ⅰ）若$f（{\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}}）=\frac{6}{5}$，求cos2θ的值；
（Ⅱ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）化簡f（x），根據(jù)$f（{\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}}）=\frac{6}{5}$求出sinθ，代入二倍角公式；
（II）根據(jù)x的范圍求出2x-$\frac{π}{3}$的范圍，結合正弦函數(shù)的圖象與性質得出．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\vec a•\vec b=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∴f（$\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}$）=2sin（θ+π）=-2sinθ=$\frac{6}{5}$，∴sinθ=-$\frac{3}{5}$．
∴cos2θ=1-2sin²θ=1-$\frac{18}{25}$=$\frac{7}{25}$．
（Ⅱ）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，則$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴當2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$，當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值2．
∴f（x）的值域為$[-\sqrt{3}，2]$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和求值，利用三角函數(shù)公式對f（x）化簡是關鍵．