Question

【題目】設(shè)為正整數(shù)，記平面點(diǎn)集.問(wèn)：平面內(nèi)最少要有多少條直線(xiàn)，它們的并集才能包含，但不含點(diǎn)?

Answer 1

【答案】至少需要條直線(xiàn).

【解析】

至少需要條直線(xiàn).

容易發(fā)現(xiàn)，條直線(xiàn)滿(mǎn)足要求.例如，直線(xiàn)和，易見(jiàn)，這條直線(xiàn)的并集包含但不含原點(diǎn).

另外的例子是直線(xiàn)集.

下面證明：為最小可能數(shù).

假設(shè)平面內(nèi)條直線(xiàn)的并集包含，但不包含原點(diǎn)，設(shè)其方程為.

考慮多項(xiàng)式.

則其階為，且對(duì)任意，有，.

記，并記為被除的余式.

由多項(xiàng)式以為個(gè)零點(diǎn)，知對(duì)所有均成立.

注意到，.

故，且顯然有.

將多項(xiàng)式表示成的降冪形式.

因?yàn)?/span>，所以，不為零多項(xiàng)式.

又當(dāng)時(shí)，.

故有個(gè)根.

于是，，這表明，不為零多項(xiàng)式.

又對(duì)于，當(dāng)時(shí)，均有..

這表明，至少有個(gè)根.

而，則為零多項(xiàng)式.

故對(duì)于任意，.

于是，至少有個(gè)根.

而不為零多項(xiàng)式，因此，.

于是，.

進(jìn)而，.

綜上，至少要條直線(xiàn)才能滿(mǎn)足題設(shè)條件.