Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）如果對(duì)所有的≥1，都有≤，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）．

【解析】

試題（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論，即可得的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，2分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，3分

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 5分

（Ⅱ）法一：設(shè)，則

因?yàn)?/span>≥1，所以7分

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，所以在單調(diào)遞減，而，所以對(duì)所有的≥1，≤0，即≤；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，若，則，單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，即；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，所以在單調(diào)遞增，而，所以對(duì)所有的≥1，，即；

綜上，的取值范圍是12分

法二：當(dāng)≥1時(shí)，≤ 6分

令，則7分

令，則，當(dāng)≥1時(shí)，8分

于是在上為減函數(shù)，從而，因此， 9分

于是在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)有最大值， 11分

故，即的取值范圍是. 12分