Question

11．下列命題：
①已知a，b，m都是正數(shù)，并且a＜b，則$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}$；
②在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若∠A=60°，a=7，b=8，則三角形有一解；
③若函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，則f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）=5；
④在等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+…+a_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（其中n∈N^*，q為公比）；
⑤如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M，N分別是CD，CC₁的中點(diǎn)，則異面直線A₁M與DN所成角的大小是90°．
其中真命題有①③⑤（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①作差與0比較，即可得到結(jié)論；
②求出三角形的高h(yuǎn)=bsinA，與a比較即可．
③f（x）+f（1-x）=1，即可．
④根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行判斷，
⑤以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求出$\overrightarrow{DN}$與$\overrightarrow{{A}_{1}M}$夾角求出異面直線A₁M與DN所成的角．

解答 解：①∵a，b，m都是正數(shù)，并且a＜b，∴$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}$=$\frac{m（b-a）}{b（b+m）}$＞0，∴$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}$，即①為真命題；
②bsin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∵0＜bsin60°＜7，∴三角形有2解；故②錯(cuò)誤
③若函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
則f（x）+f（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{4}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{2}{2+{4}^{x}}$=$\frac{2+{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$=1，
則f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）=5；成立，故③正確，
④在等比數(shù)列{a_n}中，當(dāng)q≠1時(shí)，a₁+a₂+…+a_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（其中n∈N^*，q為公比）；
當(dāng)q=1時(shí)，a₁+a₂+…+a_n=na₁，故④錯(cuò)誤，⑤以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)棱長(zhǎng)為2，
則D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A₁（2，0，2），$\overrightarrow{DN}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-2，1，-2）
$\overrightarrow{DN}$•$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0，所以$\overrightarrow{DN}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}M}$，即A₁M⊥DN，異面直線A₁M與DN所成的角的大小是90°，故⑤正確，
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查嗎的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．