Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1內(nèi)有點(diǎn)，P（-1，1），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)MP+2MF取最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)MP+MF取最大值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的第二定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求出當(dāng)MP+2MF取最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）利用橢圓的第一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，當(dāng)MP+MF取最大值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，e=$\frac{1}{2}$．
由題意可得點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，設(shè)M到橢圓的左準(zhǔn)線l得距離為d
由橢圓的第二定義可知d=2MF，
∴|PM|+2|MF|=d+|PM|
由題意可得，過(guò)P作PN⊥l，當(dāng)M為該垂線與橢圓的右交點(diǎn)時(shí)，所求的值最小，
此時(shí) y_M=1，代入可得 xM=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故M（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，1）；
（2）設(shè)左焦點(diǎn)為F′，則|MF|+|MF′|=4，∴|MF|=4-|MF′|，
∴|MP|+|MF|=4+|MP|-|MF′|≤4+|PF′|，
直線PF′的方程為x=-1，∴MP+MF取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-1，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的第一、二定義的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．