Question

20．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F₁與橢圓上點(diǎn)P的最短距離為a-c，最長距離為a+c，若F₂是其另一焦點(diǎn)，則|PF₁|•|PF₂|的取值范圍是[b²，a²]．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F₁與橢圓上點(diǎn)P的最短距離為a-c，最長距離為a+c．根據(jù)橢圓的定義得到|PF₁|+|PF₂|=2a，然后用|PF₁|表示出|PF₂|后代入到|PF₁|•|PF₂|中，最后根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可確定答案．

解答 解：由題意可知，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F₁與橢圓上點(diǎn)P的最短距離為a-c，最長距離為a+c．
|PF₁|+|PF₂|=2a
∴|PF₂|=2a-|PF₁|（a-c≤|PF₁|≤a+c）
∴|PF₁|•|PF₂|=|PF₁|（2a-|PF₁|）=-|PF₁|²+2a|PF₁|=-（|PF₁|-a）²+a²
∵a-c≤|PF₁|≤a+c
∴|PF₁|•|PF₂|=-（|PF₁|-a）²+a²∈[b²，a²]
故答案為：a-c，a+c，[b²，a²]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的定義，即橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和等于2a，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．