Question

17．證明函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，并分析x∈[1，+∞）時，導(dǎo)函數(shù)的符號，進而可得結(jié)論．

解答 證明：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
當x∈[1，+∞）時，f′（x）≤0恒成立，
故函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．