Question

16．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）-$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|+1，則f（x）的值域是（　　）

• A． [0，2]
• B． [1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2]
• C． [0，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [0，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 討論sinx與cosx的大小，把函數化簡可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sinx+1&，sinx＜cosx&\\ cosx+1&，sinx≥cosx\end{array}\right.$，結合函數的圖象可求函數的值域．

解答 解：
函數f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）-$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|+1=$\left\{\begin{array}{l}sinx+1&，sinx＜cosx&\\ cosx+1&，sinx≥cosx\end{array}\right.$，
畫圖可得f（x）的值域是[0，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
故選：D．

點評 本題主要考查了三角函數的值域，求解的關鍵是要熟悉正弦函數及余弦函數的圖象，結合函數的圖象能對已知函數的表達式進行化簡．屬于基本知識的運用．