Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)且時(shí)，證明：；

（2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，證明：.

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明該不等式；（2）解法一是利用參數(shù)分離法將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

來(lái)處理；解法二是構(gòu)造新函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為來(lái)處理，求出導(dǎo)數(shù)的根，對(duì)與區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論，以確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而解決題中的問(wèn)題；解法三是利用參數(shù)分離法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為來(lái)處理，而將視為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，然后利用圖象確定斜率的最小值，從而求解相應(yīng)問(wèn)題；（3）利用分析法將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不等式，結(jié)合（1）中的結(jié)論

結(jié)合放縮法證明，最后利用累加法證明相關(guān)不等式證明.

試題解析：（1）證明：要證，即證，

令，則，

在單調(diào)遞增，，

，即成立；

（2）解法一：由且可得，

令，，

由（1）知，

，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，

；

解法二：令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)，有，------6分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，

對(duì)，恒成立，只需，即；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，對(duì)，恒成立，只需，

而，不合題意，

綜上得對(duì)，恒成立，；

解法三：由且可得，

由于表示兩點(diǎn)、的連線斜率，

由圖象可知在單調(diào)遞減，

故當(dāng)，，

，即；

（3）當(dāng)時(shí)，，則，

要證，即證，

由（1）可知，又

，，

，

，

故.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式；2.參數(shù)分離法；3.直線的斜率；4.放縮法