Question

19．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，BB₁=BC，點P，Q，R分別是棱BC，CC₁，B₁C₁的中點．
（1）求證：A₁R∥平面APQ；
（2）求證：平面APQ⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）通過證明四邊形APRA₁是平行四邊形，推出AP∥A₁R，然后利用直線與平面平行的判定定理證明A₁R∥平面APQ．
（2）說明B₁C⊥BC₁，證明B₁C⊥PQ．然后證明BB₁⊥AP，得到AP⊥平面BCC₁B₁，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面APQ⊥平面AB₁C．

解答 證明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁且BC=B₁C₁，
因點P，R分別是棱BC，B₁C₁的中點，所以BP∥B₁R且BP=B₁R，
所以四邊形BPRB₁是平行四邊形，即PR∥BB₁且PR=BB₁，
又AA₁∥BB₁且AA₁=BB₁，所以PR∥AA₁且PR=AA₁，即四邊形APRA₁是平行四邊形，
所以AP∥A₁R，又A₁R?平面APQ，所以A₁R∥平面APQ．…（7分）
（2）因BB₁=BC，所以四邊形BCC₁B₁是菱形，
所以B₁C⊥BC₁，又點P，Q分別是棱BC，C₁C₁的中點，即PQ∥BC₁，所以B₁C⊥PQ．
因為AB=AC，點P是棱BC的中點，所以AP⊥BC，
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，知BB₁⊥底面ABC，即BB₁⊥AP，
所以AP⊥平面BCC₁B₁，則AP⊥B₁C，所以B₁C⊥平面APQ，又B₁C?平面AB₁C，
所以平面APQ⊥平面AB₁C…（14分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．