Question

已知橢圓，、是其左右焦點(diǎn)，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線斜率為，且，求直線斜率的取值范圍；

（3）若為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為；（2）直線的斜率的取值范圍是；

（3）的最小值是.

【解析】

試題分析：（1）利用離心率以及確定、之間的等量關(guān)系，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程求出、，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率為，并設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)在橢圓上以及斜率公式得到，進(jìn)而利用的取值范圍可以求出的取值范圍；（3）利用已知條件，利用余弦定理得到，結(jié)合基本不等式求出的最小值.

試題解析：（1），故橢圓的方程為；

（2）設(shè)的斜率為，設(shè)點(diǎn)，

則，，

及，

則＝ 又，

，故斜率的取值范圍為；

（3）設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距分別為、、，則有

，，，，

由橢圓定義，有，

 

的最小值為.

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值）

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.點(diǎn)差法；3.余弦定理；4.基本不等式