Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）切線方程為.

（Ⅱ）當(dāng)時， 的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是；

當(dāng)時， 的單調(diào)增區(qū)間是；

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是.

（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）切線的斜率，等于在切點的導(dǎo)函數(shù)值.

（Ⅱ）通過“求導(dǎo)數(shù)，求駐點，討論各區(qū)間導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)”，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。本題應(yīng)特別注意討論，，時的不同情況.

（Ⅲ）在區(qū)間上恒成立，只需在區(qū)間的最小值不大于0.

試題解析：（Ⅰ）因為，,

所以, 1分

，, 3分

所以切線方程為. 4分

（Ⅱ）, 5分

由得, 6分

當(dāng)時，在或時，在時,

所以的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是； 7分

當(dāng)時，在時，所以的單調(diào)增區(qū)間是； 8分

當(dāng)時，在或時，在時.

所以的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是. 10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在區(qū)間上只可能有極小值點，

所以在區(qū)間上的最大值在區(qū)間的端點處取到， 12分

即有且,

解得. 14分