Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；

（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；（3）.

【解析】

試題（1）當(dāng)m=e時，＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，則h（1）=，

h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）=f′（x）-零點的個數(shù)；（3）（理）當(dāng)b＞a＞0時，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范圍

試題解析：（1）由題設(shè)，當(dāng)時，

易得函數(shù)的定義域為

當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，取得極小值

的極小值為2

（2）函數(shù)

令，得

設(shè)

當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；

所以是的唯一極值點，且是極大值點，因此x=1也是的最大值點，

的最大值為

又，結(jié)合y=的圖像（如圖），可知

①當(dāng)時，函數(shù)無零點；

②當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點；

③當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；

④時，函數(shù)有且只有一個零點；

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.

（3）對任意恒成立，等價于恒成立

設(shè)，在上單調(diào)遞減

在恒成立

恒成立

（對，僅在時成立），的取值范圍是