Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，e]時，求g（x）=e2x﹣lnx的最小值；
（3）當(dāng)x∈（0，e]時，證明：e2x﹣lnx﹣ ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，a∈R，

∴ ．

①當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

②當(dāng)a＞0時，令f'（x）＞0，得 ，令f'（x）＜0，得 ，

∴f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）解：∵g（x）=e2x﹣lnx，則 ，

令g′（x）=0，得 ，當(dāng) 時，g′（x）＜0，

當(dāng) 時，g′（x）＞0，g

∴當(dāng) 時，g（x）取得最小值，

（3）解：證明：令 ，則 ，令φ'（x）=0，得x=e．

當(dāng)0＜x≤e時，φ'（x）≥0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，

∴ ，

所以 ，

【解析】（1）求出 ，由a≤0和a＞0兩種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由g（x）=e2x﹣lnx，得 ，由此利用導(dǎo)性質(zhì)能求出g（x）的最小值．（3）令 ，則 ，令φ'（x）=0，得x=e，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明e2x﹣lnx﹣ ＞ ．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．